Algebra Lineal: 2011

APLICACIONES

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: GAUSS, GUSS YORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER

METODO DE GAUSS

GAUSS YORDAN

INVERSA DE UNA MATRIZ

REGLA DE CRAMER

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

VIDEOS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

APLICACIONES

Pasos a seguir:

Leer y comprender el enunciado.

Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagramas de árbol...

Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.

Plantear y resolver el sistema.

Comprobar la solución.

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

x = Importe en € de los refrescos. x=120 €

y = Importe en € de la cerveza. y=160 €

z = Importe en € del vino. z=220 €

REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ₁, Δ₂, Δ₃... , Δ_n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Ejemplo

INVERSA DE UNA MATRIZ

A · A^-1 = A^-1 · A = I

Propiedades

(A · B)^-1 = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1 = A

(k · A)^-1 = k^-1 · A^-1

(A ^t)^-1 = (A ^-1)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

F₂ - F₁

F₃ + F₂

F₂ - F₃

F₁ + F₂

(-1) F₂

La matriz inversa es:

GAUSS YORDAN

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (a_ij=0 para cualquier $i \neq j$ ).
Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...ray}{r} 12 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a₄₄=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por $\frac{-3}{4}$ y la restamos a la primera:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...rray}{r} 8 \\ 10 \\ -9 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 2 ... ...array}{r} 8 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Ahora tomamos como pivote el elemento a₃₃=2, multiplicamos la tercera ecuación por $\frac{2}{2}=1$ y la restamos a la primera:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...rray}{r} 12 \\ 8 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Repetimos la operación con la segunda fila:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & -2 & 0 ... ...ray}{r} 12 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

Finalmente, tomamos como pivote a₂₂=-4, multiplicamos la segunda ecuación por $\frac{-2}{-4}$ y la sumamos a la primera:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llll} \left( \begin{array}{rrrr} 6 & 0 & 0 &... ...rray}{r} 6 \\ 12 \\ -4 \\ -3 \end{array} \right) \end{array}\end{displaymath}$

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:

$\begin{displaymath}x = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: GAUSS, GAUSS YORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).